Equação Quadrática: Solução E Bhaskara

Ei, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje, vamos mergulhar no mundo das equações quadráticas e descobrir como encontrar o conjunto solução da equação -3x² + 18x – 15 = 0. E não para por aí! Vamos também explorar a famosa fórmula de Bhaskara, uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de problema. Preparados para essa jornada matemática? Então, bora lá!

O Que São Equações Quadráticas?

Antes de começarmos a resolver a nossa equação, vamos entender o que são as equações quadráticas. Uma equação quadrática, também conhecida como equação do segundo grau, é uma equação polinomial que possui a seguinte forma geral: ax² + bx + c = 0, onde 'a', 'b' e 'c' são coeficientes numéricos e 'x' é a incógnita que queremos descobrir. O coeficiente 'a' é sempre diferente de zero, pois se fosse igual a zero, a equação se tornaria linear, e não quadrática.

As equações quadráticas aparecem em diversas áreas da matemática e da física, e são usadas para modelar uma variedade de fenômenos do mundo real, como a trajetória de um projétil, a forma de uma antena parabólica e o comportamento de circuitos elétricos. Por isso, é super importante dominarmos as técnicas para resolvê-las!

Resolvendo a Equação -3x² + 18x – 15 = 0

Agora que já sabemos o que são equações quadráticas, vamos colocar a mão na massa e resolver a nossa equação: -3x² + 18x – 15 = 0. Para isso, vamos simplificá-la dividindo todos os termos por -3. Essa é uma manobra esperta que facilita os cálculos, pois elimina o coeficiente negativo do termo x² e reduz os valores dos outros coeficientes. Fazendo isso, obtemos a seguinte equação equivalente: x² - 6x + 5 = 0. Bem mais amigável, não é?

Agora, temos duas opções para encontrar as raízes dessa equação: a fórmula de Bhaskara e a fatoração. Vamos começar pela fatoração, que é um método mais rápido e elegante quando possível. A ideia é encontrar dois números que somados resultem em -6 (o coeficiente de x) e multiplicados resultem em 5 (o termo independente). Pensando um pouco, percebemos que os números -1 e -5 satisfazem essas condições, pois (-1) + (-5) = -6 e (-1) * (-5) = 5. Com isso, podemos reescrever a equação como (x - 1)(x - 5) = 0. Para que essa igualdade seja verdadeira, um dos fatores deve ser igual a zero. Portanto, temos duas possíveis soluções: x - 1 = 0 ou x - 5 = 0. Resolvendo cada uma dessas equações, encontramos x = 1 e x = 5.

A Fórmula de Bhaskara: Uma Ferramenta Poderosa

Se a fatoração não for uma opção óbvia, não se preocupe! Temos a fórmula de Bhaskara, que é uma ferramenta infalível para encontrar as raízes de qualquer equação quadrática. A fórmula é a seguinte: x = (-b ± √Δ) / 2a, onde Δ (delta) é o discriminante, calculado por Δ = b² - 4ac. O discriminante nos dá informações valiosas sobre a natureza das raízes: se Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e distintas; se Δ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais; e se Δ < 0, a equação não tem raízes reais (tem raízes complexas, mas isso é assunto para outro dia!).

No nosso caso, temos a = 1, b = -6 e c = 5. Calculando o discriminante, temos Δ = (-6)² - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16. Como Δ > 0, já sabemos que a equação tem duas raízes reais e distintas. Agora, vamos aplicar a fórmula de Bhaskara: x = (-(-6) ± √16) / (2 * 1) = (6 ± 4) / 2. Separando as duas possíveis soluções, temos x₁ = (6 + 4) / 2 = 5 e x₂ = (6 - 4) / 2 = 1. Olha só! Chegamos às mesmas raízes que encontramos pela fatoração, o que confirma que nossa solução está correta!

Conjunto Solução e Alternativas

Portanto, o conjunto solução da equação -3x² + 18x – 15 = 0 é {1, 5}. Comparando com as alternativas fornecidas, vemos que a resposta correta é a alternativa a) {1, 5}. Conseguimos desvendar o mistério dessa equação quadrática!

Fórmula de Bhaskara: Passo a Passo Detalhado

Para deixar tudo ainda mais claro, vamos repassar o passo a passo da utilização da fórmula de Bhaskara. Essa fórmula, como já mencionei, é uma das ferramentas mais importantes na resolução de equações do segundo grau. Ela nos permite encontrar as raízes de qualquer equação quadrática, independentemente de sua complexidade. Então, vamos detalhar cada etapa para que você se sinta 100% confiante em utilizá-la.

1. Identifique os Coeficientes: O primeiro passo é identificar os coeficientes 'a', 'b' e 'c' na equação quadrática. Lembre-se que a equação tem a forma geral ax² + bx + c = 0. O 'a' é o coeficiente que acompanha o x², o 'b' é o coeficiente que acompanha o x, e o 'c' é o termo independente (aquele que não tem 'x'). No nosso exemplo, -3x² + 18x – 15 = 0 (ou x² - 6x + 5 = 0, após a simplificação), temos a = 1, b = -6 e c = 5.

2. Calcule o Discriminante (Δ): O discriminante é uma parte crucial da fórmula de Bhaskara. Ele nos diz quantas raízes reais a equação possui. A fórmula para calcular o discriminante é Δ = b² - 4ac. Substitua os valores de 'a', 'b' e 'c' que você identificou no passo anterior e faça a conta. No nosso caso, Δ = (-6)² - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16.

3. Analise o Discriminante: Agora, é hora de analisar o valor do discriminante. Se Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e distintas. Se Δ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais. E se Δ < 0, a equação não tem raízes reais (mas tem raízes complexas). No nosso exemplo, Δ = 16, que é maior que zero, então já sabemos que temos duas raízes reais diferentes.

4. Aplique a Fórmula de Bhaskara: Chegou o momento de usar a fórmula completa: x = (-b ± √Δ) / 2a. Substitua os valores de 'a', 'b' e Δ que você já tem e calcule as duas possíveis soluções para 'x'. Lembre-se que o símbolo '±' significa que você precisa fazer duas contas: uma com o sinal de mais e outra com o sinal de menos. No nosso caso, x = (-(-6) ± √16) / (2 * 1) = (6 ± 4) / 2.

5. Calcule as Raízes: Agora, é só fazer as contas! Para encontrar a primeira raiz (x₁), use o sinal de mais: x₁ = (6 + 4) / 2 = 10 / 2 = 5. Para encontrar a segunda raiz (x₂), use o sinal de menos: x₂ = (6 - 4) / 2 = 2 / 2 = 1. Prontinho! Encontramos as duas raízes da equação.

6. Escreva o Conjunto Solução: O último passo é escrever o conjunto solução, que é o conjunto que contém todas as raízes da equação. No nosso caso, o conjunto solução é {1, 5}.

Dicas Extras para Mandar Bem nas Equações Quadráticas

Para finalizar, preparei algumas dicas extras que vão te ajudar a se tornar um mestre das equações quadráticas:

• Pratique Muito: A prática leva à perfeição! Quanto mais você resolver equações quadráticas, mais rápido e confiante você ficará. Procure exercícios em livros, apostilas e na internet, e não tenha medo de errar. Os erros fazem parte do aprendizado!
• Entenda a Lógica: Não decore as fórmulas! Tente entender a lógica por trás delas. Por que a fórmula de Bhaskara funciona? De onde ela vem? Quando você entende o conceito, fica muito mais fácil lembrar e aplicar as fórmulas.
• Use a Fatoração Quando Possível: A fatoração é um método mais rápido e elegante do que a fórmula de Bhaskara, mas só funciona em alguns casos. Se você conseguir identificar os fatores da equação, use a fatoração para economizar tempo e esforço.
• Confira Seus Resultados: Depois de resolver uma equação quadrática, sempre confira seus resultados. Substitua as raízes encontradas na equação original e veja se a igualdade se mantém. Se não se mantiver, é sinal de que você errou em algum lugar e precisa revisar seus cálculos.
• Peça Ajuda Quando Precisar: Se você estiver com dificuldades, não hesite em pedir ajuda. Converse com seus professores, colegas de classe ou procure tutoria online. O importante é não ficar parado e buscar o conhecimento que você precisa.

Conclusão: Dominando as Equações Quadráticas

E aí, pessoal? Curtiram essa jornada pelo mundo das equações quadráticas? Vimos como resolver a equação -3x² + 18x – 15 = 0 utilizando a fatoração e a fórmula de Bhaskara, e descobrimos que o conjunto solução é {1, 5}. Também exploramos o passo a passo da fórmula de Bhaskara e compartilhamos algumas dicas extras para você mandar bem nesse assunto. Com dedicação e prática, vocês vão se tornar verdadeiros experts em equações quadráticas!

Lembrem-se, a matemática está em toda parte, e dominar as ferramentas para resolver problemas é fundamental para o nosso desenvolvimento. Então, continuem estudando, praticando e explorando esse universo fascinante! Até a próxima, pessoal!